不言自明 梅森數

       1903年，在美國紐約的一個學術報告會上，數學家科爾表演了一個小插曲：他走上講臺，拿起粉筆，一言不發，在黑板上做長長的計算。

　　算呀算呀，算出一個結果：

　　267-1=147 573 952 589 676 412 927。

　　然后又算呀算呀，又算出一個結果：

　　193 707 721×761 838 257 287

　　=147 573 952 589 676 412 927。

　　兩次計算的結果完全相同，聽眾席上掌聲雷動。

　　臺上的人不作任何解釋，臺下的人不提任何問題，卻能完全互相了解，共享成功的喜悅。他們是打的什么啞謎？究竟是怎么一回事呢？

　　原來，科爾是在報告他自己關于質數研究的一個好結果。他的計算表明，267-1不是質數，因為它可以分解成兩個大于1的自然數的乘積。

　　不是質數的自然數太多太多，大部分自然數都是合數。為什么證明了267-1不是質數就要鼓掌呢？

　　這是因為267-1屬于一類著名的數，叫做“梅森數”。梅森（Mersenne，1588～1648年）是法國數學家，他研究過形如2p-1的數，其中p是質數，后來人們稱這類數為梅森數。梅森證明了，當p=2，3，5，7，13，17，19，31時，對應的8個梅森數都是質數。由此猜想，在梅森數中出現質數的機會可能比較多。人們要尋找更大的新質數，往往就到梅森數里去淘金。在1903年科爾報告之前，當時的數學家們還指望267-1可能被確定是一個大的質數。科爾通過板演，告訴他的同行們，267-1不是質數，是一個有21位的合數，不必再為它耗費時間做大量計算了。科爾還具體求出這個大合數的兩個質因數，其中一個是9位數，另一個是12位數。當時還沒有電子計算器，更沒有電子計算機，要靠手算得出這樣的結果，非常不容易。這一進展當然會贏來熱烈鼓掌。

　　科爾為了得到他所報告的結果，用去了三年中所有星期天的時間。

　　現在電了計算機已經普及，計算起來就方便得多了。在一臺486微機上，利用數學軟件，計算267-1只需要不到1秒鐘的時間；再把所得的21位數分解成質因數的乘積，也不過花費35秒左右。

　　利用電子計算機可以方便地判斷一個不太大的整數是質數還是合數。

　　現在尋找人們暫時還不知道的更大的新質數，也都利用電子計算機，不過因為計算量太大太大，需要設計一套特殊方法。

　　如果一個梅森數是質數，就叫做梅森質數。通常打破大質數紀錄的都是梅森數。

　　1985年發現的大質數是第30個梅森質數，有65050位數字。這個紀錄在7年后被刷新，1992年發現了第31個梅森質數，有227832位數字。

　　1994年發現了第32個梅森質數，有258716位數字。

　　1996年發現了第33個梅森質數，有378632位數字，它是21257787-1。

　　梅森數除去對尋找大質數有特殊貢獻而外，在編碼中也有實際應用。